El disco duro externo puede estar siempre conectado a la PC, pero si lo que deseas es un soporte de memoria porque el disco duro del pc se te queda pequeño en vez de optar por una unidad externa, quizás te convendría un disco duro de mayor tamaño o poner dos disco duros, en cuanto a lo del PC lento puede ser para infinidad de causas, las mas frequentes son:

1-infección de código malicioso (virus,spyware,joke...) pasa un antivirus/anti-spyware para tratar de ver si estas infectado con algún spyware.

2-Comprueba que no tengas tu disco duro completamente lleno

3-Comprueba que no tengas un proceso que te ocupe mucha memoria virtual, aquí tiene bastante influencia el paso uno, la posible infección, sus efectos mas comunes de infecciones son lentitudes en el PC, romper la funcionalidad del antivirus y spam (se abren webs automáticamente y cambian tu pagina de inicio del navegador muchas veces imposibilitando modificarla por el método convencional), aquí tampoco te podría ayudar con información concreta porque existen decenas incluso me atrevería a decir centenares de ellos.

Para ver tu memoria virtual en uso pulsa una vez control+alt+sup yen la parte inferior ves uso de la CPU seguido de un número y un %, tiene que ser un numero bajo, (en mi PC un core 2duo con 1GB de ram sin ningún proceso que me consuma muchos recursos esta entre el 0 y el 2%)

Una solución eficaz al problema de lentitud de disco es salvar todo el contenido, tu lo tienes fácil cunado consigas a hacer funcionar tu memoria externa copiando allí los datos que desees salvar y formatear tu sistema operativo (windows al parecer) de esta forma el PC queda como nuevo, es un poco drástica pero la mas eficaz